拉普拉斯定理行列式

拉普拉斯定理，计算降阶行列式的一种方法。该定理断言：在n阶行列式D=|aij| 中，任意取定k行（列），1≤k≤n-1，由这k行（列）的元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式D的值。此展式称为拉普拉斯展式。

行列式的拉普拉斯定理简介

关于行列式的拉普拉斯定理又称为子式的代数余子式定理，其内容是：设在n(n≥2)阶行列式D中任取定k(1≤k<n)行(列), 且用这k行(列)作出的所有k阶子式为N1, N2, …, Nt, 相应的代数余子式依次为A1, A2, …, At, 则D=N1A1+N2A2+…+NtAt. 其中t=C(n,k)=n!/[k!(n-k)!].

拉普拉斯定理可以用来求行列式的值。从定理的内容来看，第一步，也是最重要的一步就是要找到最合适的行列，其这些行或列的所有子式。这些子式中，当然0越多越好了。这样就可以大大的减少运算量。

然后分别取定那些非0的子列的代数余子式。因为从定理的内容来看，等于0的子列和它的代数余子式的积，一定等于0，因此并不需要考虑等于0的子列的代数余子式。

最后将各非0子列分别乘以它们的代数余子式，并求这些积的和，就得到原行列式的值了。

行列式的拉普拉斯定理基本概念

1.子式

在n阶行列式D中，任意取定k行k列(1<=k<=n)，位于这些行和列交叉处的k^2个元素，按照原来的顺序构成一个k阶行列式M，称为D的一个k阶子式，记为M。

2. 余子式

划去这k行k列，余下的元素按照原来的顺序构成一个n-k阶行列式，称为M的余子式，记为N。

3. 代数余子式

在M的余子式，即N前冠以符号(-1)^(i1+i2+…+ik+j1+j2+…+jk)，称为M的代数余子式。其中i1、i2、…j1、j2、…jk分别为k阶子式在D中的行标，列标。代数余子式记做A。